L’année mondiale des mathématiques s’achève, et il est important de constater à quel point les mathématiques ont forgé le monde moderne. Dans le dernier siècle, des progrès immenses ont été accomplis dans une quantité de domaines reliés aux mathématiques. La technologie se développe à une vitesse effarante, et on a peine à suivre. De nouveaux concepts mathématiques ont vu le jour, afin d’expliquer les phénomènes qui nous entourent et mieux comprendre le monde dans lequel nous vivons. L’un d’eux, celui des fractales, est particulièrement intéressant, et tout à fait fascinant.
Il est facile de remarquer que, dans la nature, on ne peut pas construire toutes les formes simplement à partir de figures géométriques simples, comme des triangles ou des rectangles. Les scientifiques, intrigués, ont longuement tenté d’expliquer ces irrégularités par différents modèles, mais les ont reléguées au titre de " curiosités mathématiques ". Pour faire la lumière sur ces " curiosités ", il a fallu attendre l’arrivée d’un véritable nouveau concept, soit celui de la géométrie fractale. Quelques idées et modèles se relatant à cette discipline avaient déjà été énoncés au cours du XIXe siècle (poussière de Cantor, courbe de Von Koch), mais ce n’est que vers les années ’70, grâce aux travaux de Benoit Mandelbrot, que les fractales seront considérées comme un véritable domaine mathématique.
Grossièrement, une fractale est un objet géométrique dans lequel chaque partie est une reproduction du tout (un peu comme dans un chou-fleur ou une fougère) et ce, dans des proportions infinies. Ainsi, dans une représentation graphique d’une fractale, le moindre petit détail (la moindre petite partie) est une représentation exacte (à plus petite échelle) du tout. On parle alors d’ " auto-similarité " (self-similar) ou d’homothétie interne. La fractale, comparativement à une figure qui suit les règles de la géométrie euclidienne, possède des dimensions géométriques intermédiaires (non entières). Par exemple, dans le cas du flocon de Von Koch, la dimension de la figure correspond à log 4/log 3, soit environ 1,262 alors qu’en géométrie euclidienne, les seules dimensions existantes sont 0 (un point), 1 (une ligne), 2 (une surface plane) et 3 (un volume). Cette particularité s’explique par le fait qu’une fractale a généralement un périmètre infini, mais une aire limitée.
Le problème le plus classique pour comprendre la base de la mathématique fractale est le suivant : quelle est la longueur de la côte de Bretagne? La question peut paraître bien facile, mais si on tient compte du fait qu’une côte est constituée d’innombrables golfes et caps, qui sont eux-mêmes constitués de plus petites criques ou promontoires, ça se complique. Ainsi, plus on prendra une échelle petite pour mesurer cette côte, plus la mesure que l’on obtiendra sera grande. À mesure que l’échelle tendra vers zéro, la mesure, inversement proportionnelle, tendra vers l’infini (concrètement, imaginons un acarien devant faire le tour de chaque imperfections des grains de sable ou roches de la côte…).
Benoît Mandelbrot, mathématicien français d’origine polonaise, est considéré comme le père de la mathématique fractale. C’est d’ailleurs lui qui a donné naissance au terme " fractal ", en l’utilisant pour la première fois en 1975, dans son livre " Les objets fractals ". Ce mot a été formé à partir de l’adjectif latin fractus, qui signifie " irrégulier " ou " brisé ". Mandelbrot a réalisé un travail de synthèse de tout ce qui avait été découvert auparavant, a rassemblé les différentes hypothèses et théories pour les faire converger vers le concept de la géométrie fractale. L’idée a germé dans son esprit vers les années ’60, au moment où il était chercheur pour la compagnie IBM. Le mathématicien s’intéressait aux fluctuations à long terme de la bourse, qui semblaient toujours survenir de façons aléatoires, mais selon la même allure que les fluctuations à court terme. Il put, à partir de ces constatations, élaborer un modèle mathématique capable de simuler l’évolution de la bourse de façon très réaliste. Plus tard, il s’intéressa à d’autres domaines (turbulences, bruit sur les lignes téléphoniques), où il réussit à appliquer un modèle mathématique semblable, et à trouver une certaine homothétie interne. C’est ainsi que, peu à peu, la notion de fractale se concrétisa. En 1980, on générera par ordinateur le premier " ensemble de Mandelbrot ", une des figures fractales les plus compliquées qui soient, basée sur des nombres complexes. Cet ensemble deviendra rapidement le symbole des fractales.
Le plus fascinant avec ce concept mathématique, c’est qu’il peut avoir un nombre quasiment incalculable d’applications : en physique, géologie, cosmologie, biologie ou même sciences économiques! En effet, le modèle de la fractale est maintenant applicable à une panoplie de situations, grâce à l’apport de différents scientifiques et chercheurs. Au niveau médical, Andrew Einstein et ses collaborateurs ont développé une nouvelle façon de découvrir les cellules plus susceptibles de causer un cancer du sein, car l’irrégularité des noyaux des cellules de même que la taille des vides dans la chromatine (lacunarité) ont pu être quantifiées à l’aide de deux dimensions fractales. Le mathématicien Michael F. Barnsley a, quant à lui, trouvé un moyen d’utiliser les fractales afin de stocker des images ou des vidéos sur un ordinateur en utilisant une quantité minimale d’espace, ce qui est très utile dans le domaine du multimédia.
Les fractales ont apporté énormément au monde scientifique, et au rythme où vont les choses, nous ne sommes pas aux bouts de nos surprises. On ne pourra probablement jamais quantifier tout ce qui est pour le moment, laissé au " hasard ", mais les travaux de Mandelbrot et de tous ses collaborateurs nous permettent d’en apprendre de plus en plus sur les mystères de la nature. Les progrès de ce concept sont étroitement liés aux progrès de l’informatique, car on aurait jamais pu appuyer cette théorie sans l’aide des ordinateurs. Cela explique pourquoi la mathématique fractale a tant tardé à s’affirmer. Quoiqu’il en soit, combinée à la théorie du chaos, la mathématique fractale nous permet peu à peu de gagner du terrain sur le hasard que tout scientifique redoute.
Mon travail touche à une multitude d’aires d’interaction. Tout d’abord apprendre à apprendre, parce que réaliser un travail nous aide toujours à améliorer notre méthode de travail. De plus, en effectuant cette recherche, j’ai découvert et compris un nouveau concept mathématique. Cela contribue à améliorer mes facultés à apprendre, à analyser.
Bien entendu, en expliquant l’historique d’un concept scientifique, je touche à l’aspect historique de l’homo faber. Benoît Mandelbrot est un mathématicien contemporain, mais aussi un personnage très important dans l’histoire des sciences. Ses découvertes ont une très grande influence sur la mathématique actuelle. La créativité et les fractales sont également très reliées, car certaines fractales sont tellement belles qu’on les considère comme de véritables œuvres d’art.
Comme les fractales s’appliquent à des domaines très variés, je touche un peu plus indirectement aux aires santé/formation sociale et environnement. On utilise les fractales en médecine (maladies de l’œil, détection du cancer du sein, pharmacologie), un domaine en rapport direct avec la santé. J’ai appris comment un concept purement mathématique au départ peut servir à améliorer les connaissances du monde médical. Au niveau environnemental, même si les fractales ne nous aident pas vraiment à sauvegarder la nature, elles nous aident à comprendre celle-ci. On démystifie certains mécanismes naturels grâce aux fractales. Qui sait où cela pourra nous mener…
